代数学の初歩を独学: 群、環、体

私が通っていた高専や、今通っている大学では、微分積分を基礎とした解析学を中心に数学を習います。しかしながら、それ以外の数学、例えば集合論、代数学、論理学、幾何学のような数学についてはほとんど触れません。そこで、私は習っていない数学を独学したいと考えています。

この記事では、代数学の初歩となる代数的構造として、代数系、群、環、体を定義します。

1 代数系

代数系は、集合 \(S\) と二項演算 \(\circ\) の組 \((S,\circ)\) で、次の公理を満たすものです。

1. \(S\) の任意の元 \(a\), \(b\) について、\(a\circ b\in S\) となる。

これを「演算 \(\circ\) は閉じている」といいます。二項演算 \(\circ\) は写像で、\(\circ:S\times S\to S\) と表されます。

1.1 群

群 (ぐん、group) は、集合 \(G\) と二項演算 \(\circ:G\times G\to G\) からなる組 \((G,\circ)\) で、次の公理を満たすものです。

1. 結合法則: \(G\) の任意の元 \(a\), \(b\), \(c\) について、\((a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\) が成立する。
2. 単位元の存在: \(G\) の任意の元 \(a\) について、\(a\circ e=e\circ a=a\) となる元 \(e\) が存在する。この元 \(e\) を単位元という。
3. 逆元の存在: \(G\) の任意の元 \(a\) について、\(a\circ x=x\circ a=e\) となる元 \(x\) が存在する。この元 \(x\) を \(a\) の逆元という。

さらに、次の公理を満たす群を可換群、またはアーベル群といいます。

4. 交換法則: \(G\) の任意の元 \(a\), \(b\) について、\(a\circ b=b\circ a\) が成立する。

一方、公理 1 (結合法則) だけを満たす代数系を半群といいます。

公理 1 (結合法則) と公理 2 (単位元の存在) だけを満たす代数系をモノイドといいます。

代数的構造がたくさん出てきてごちゃごちゃしたので、表にまとめます。行は代数的構造で、列は公理です。○がついたセルは、その代数系がその公理を満たすことを表します。

	結合法則	単位元の存在	逆元の存在	交換法則
半群	○
モノイド	○	○
群	○	○	○
可換群	○	○	○	○

乗法 \(\cdot\) についての群 \((G,\cdot)\) を乗法群といいます。乗法群の単位元を \(e=1\) と表します。乗法群を含む多くの群では \(a\) の逆元は \(x=a^{-1}\) で表されます。

加法 \(+\) についての群 \((G,+)\) を加法群といいます。加法群の単位元を \(e=0\) と表し、特に零元と言います。特に、加法群では \(a\) の逆元は \(x=-a\) で表され、負元と呼ばれます。

1.2 環

環 (かん、ring) は、集合 \(R\) と加法 \(+\) と乗法 \(\cdot\) からなる組 \((R,+,\cdot)\) で、次の公理を満たすものです。

1. \((R,+)\) は可換群である。
2. \((R,\cdot)\) はモノイドである。
3. 分配法則: \(R\) の任意の元 \(a\), \(b\), \(c\) について、\((a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\) が成立し、かつ \(a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\) が成立する。

さらに、乗法 \(\cdot\) について交換法則を満たす環を可換環といいます。

1.3 体

体 (たい、field) は、集合 \(F\) と加法 \(+\) と乗法 \(\cdot\) からなる組 \((F,+,\cdot)\) で、次の公理を満たすものです。

1. \((F,+,\cdot)\) は環である。
2. 任意の \(a\in F\setminus\{0\}\) について、乗法逆元 \(a^{-1}\) が存在する。

さらに、乗法 \(\cdot\) について交換法則を満たす体を可換体といいます。

環と体について表にまとめます。行は代数的構造で、列は公理です。○がついたセルは、その代数系がその公理を満たすことを表します。

	加法可換群	乗法モノイド	分配法則	非零乗法逆元の存在	乗法交換法則
環	○	○	○
可換環	○	○	○		○
体	○	○	○	○
可換体	○	○	○	○	○

参考文献

1. 代数学 - [物理のかぎしっぽ]
2. 川内教員室 - 東京工業大学 大学院理工学研究科 数学専攻
3. 代数学（群、環、体、テンソル）インデックス